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Quanto vale pi greco?

Una curiosa approssimazione

Il video è stato sviluppato in collaborazione con Roberta Befera, Sofia Corradetti e Alessandra Caterina Todesca.

Nel laboratorio Numeri trascendenti abbiamo affrontato il problema di approssimare numeri con infinite cifre decimali ma non periodici: i numeri irrazionali e i numeri trascendenti. Uno spazio consono è stato dedicato al rapporto tra la lunghezza di una circonferenza e il raggio della stessa, pi greco per l’appunto.

Una delle approssimazioni più note è quella che si ottiene ricordando che l’arco che ha per tangente uno è pi greco quarti, per cui si sviluppa la funzione arcotangente in serie di Taylor in un intorno di zero e si calcola in uno: maggiore è il grado del polinomio approssimante, migliore sarà l’approssimazione.

Si può fare molto meglio, infatti pi greco quarti è uguale alla somma di due angoli, uno che ha per tangente 1/2 e l’altro che ha per tangente 1/3. Perchè? Il video che segue cerca di spiegarlo …

In pratica, su un foglio a quadretti si costruisce un triangolo rettangolo isoscele in questo modo:

  • si traccia una semiretta che abbia un coefficiente angolare pari a 1/2 (a partire dall’origine della semiretta – il punto A – si sceglie un secondo punto due quadretti più a destra e un quadretto più in alto);
  • dalla stessa origine – sempre il punto A – si traccia una seconda semiretta con coefficiente angolare -1/3 (tre quadretti a destra e uno in basso questa volta);
  • si sceglie un punto sulla prima semiretta (il punto C, nella figura che segue), diverso dall’origine, e si traccia una semiretta con coefficiente angolare pari a -1/2 (un quadretto a destra e uno in basso).

Il triangolo che si viene a formare è rettangolo (l’angolo retto ha vertice C, la prima e la terza semiretta sono tra loro ortogonali) e isoscele (come si vede subito facendosi aiutare dai quadretti), e quindi i due angoli (gli angoli di vertici rispettivamente A e B) alla base sono entrambi pari a un quarto di angolo piatto. In particolare misura pi greco quarti l’angolo formato dalla prima e seconda semiretta (l’angolo di vertice A).

Ricordando che la pendenza di una retta è anche la tangente dell’angolo formato con l’asse orizzontale, si vede subito che il nostro angolo è la somma di due angoli che hanno, rispettivamente, tangente pari a 1/2 e 1/3! Per cui:

e quindi …

sviluppando in serie di Taylor l’arcotangente:

e quindi, concludendo, abbiamo la formula cercata:

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