Qual è il numero più piccolo? E il più grande?
Questo laboratorio è stato sviluppato da Alessandra Mancini, Gabriele Paggiossi, Krystal Perna, Beatrice Rizzuto e Siria Zoratto in collaborazione con la professoressa Annalisa Malusa (La Sapienza di Roma).
I numeri possono essere naturali, interi, razionali reali o addirittura iper-reali. In questo laboratorio faremo la conoscenza proprio di questi ultimi perchè alcuni problemi, come vedremo, hanno una elegante soluzione usando questo insieme numerico e perchè, come invece vedremo in un secondo laboratorio dedicato all’argomento, permettono un approccio semplice ma rigoroso al calcolo differenziale. Ma qual è la loro particolarità? Gli iperreali aggiungono ai numeri reali dei numeri infinitamente grandi o infinitamente piccoli ma in modo così naturale, così accurato da non accorgersi quasi di aver cambiato contesto.
Materiale didattico a supporto
- I fascicoli 24 – Iperreali (in formato PDF di circa 19.3MB) e 25 – Iperreali 2 (in formato PDF di circa 18.6MB).
- Il laboratorio è descritto nell’articolo Iperreali su questo stesso sito.
- Le slide realizzate per il percorso/laboratorio proposto a una classe terza del liceo matematico nell’anno scolastico 2021/2022:
- 01 – Insiemi numerici: un’introduzione alla definizione degli insiemi numerici che prende spunto da Valenti, S. Dall’intero all’iperreale, un’introduzione graduata all’analisi non standard 1994, GRIM Quaderni di ricerca didattica n.5 con particolare attenzione alle proprietà delle operazioni fondamentali
- 02 – Iperreali: propone le soluzioni di alcuni problemi di geometria analitica (suggeriti in Stecca, B. & Zambelli, D. Analisi non standard 2015, docplayer.it) utilizzando infiniti e infinitesimi e definisce l’insieme dei numeri iperreali, le operazioni e le proprietà
- 03 – calcolo differenziale: di nuovo, si parte da problemi di geometria analitica e di fisica le cui soluzioni proposte fanno uso degli iperreali fino ad arrivare alla definizione di rapporto differenziale e di derivata, si analizza, con l’aiuto di GeoGebra, il grafico di una funzione in rapporto a quello della sua derivata
- 04 – derivata: si deducono le formule per alcune derivate fondamentali (polinomi, razionali fratte e irrazionali), e le principali formule di derivazione, compresa la formula per la derivata di una funzione composta
- 05 – applicazioni delle derivate: problemi che si possono risolvere usando le derivate (tangenti, velocità, accelerazione) e che non si possono risolvere con le derivate (tangente a una conica condotta per un pubnto esterno)
- 06 – ritorno a Hyperreal Mountain: la definizione del numero e utilizzando gli iperreali, derivate di funzioni logaritmiche ed esponenziali, alcuni esempi di comportamento asintotico
Prerequisiti
Prima di affrontare questo laboratorio è necessario:
- Comprendere il concetto di tangente sia dal punto di vista geometrico che da quello analitico.
- Conoscere i principi basilari della geometria analitica ed essere in grado di lavorare agilmente sul piano cartesiano.
Può essere di aiuto un software CAS (Computer Algebra System).
Obiettivi
Vogliamo raggiungere una utile conoscenza degli iperreali e di alcune loro applicazioni a semplici problemi di geometria analitica e di fisica.
Il laboratorio è stato presentato al Seminario Nazionale dei Licei Matematici. Salerno, 14-16 Settembre 2023.