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Trascendenti: la libreria

Pi Greco

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Approssimazione di numeri irrazionali e trascendenti

  • Approssimazione si e mediante formula di Taylor: Taylor_e(iterazioni)
  • Approssimazione di e mediante metodo di Newton: Newton_e(iterazioni)
  • Approssimazione di pi greco mediante formula di Taylor: Taylor_PiAtan1(iterazioni), Taylor_PiAtan1-2_1-3(iterazioni)
  • Approssimazione di radice di 2 mediante metodo di Newton: Newton_r2(iterazioni)
  • Approssimazione della sezione aurea mediante metodo di Newton: Newton_phi(iterazioni)
  • Approssimazione di un numero reale con il metodo del minimo scostamento: MinimoScostamento(ripetizioni, trascendente)
  • Fattori primi usati nel metodo del minimo scostamento:MinimoScostamento(ripetizioni, trascendente)

Approssimazione del numero di Eulero e tramite serie di Taylor

Approssimazione mediante lo sviluppo in serie di Taylor, in un intorno di zero, della funzione esponenziale, sviluppo calcolato poi per x = 1:

Sviluppo in serie di taylor della funzione esponenziale

da cui:

Approssimazione del numero di Eulero e ottenuto dallo sviluppo in serie di Taylor della funzione esponenziale
Taylor_e(iterazioni)

Dove iterazioni è il numero di iterazioni usato nello sviluppo in serie. Restituisce un numero reale.

Usa Fattoriale(x).

Approssimazione del numero di Eulero e con il metodo di Newton

Il numero di Eulero e è approssimato ricercando una soluzione numerica dell’equazione:

Equazione usata per determinare un'approssimazione di e con il metodo di Newton
L’equazione ha come soluzione proprio il numero di Eulero e.
Newton_e(iterazioni)

Dove iterazioni è il numero di iterazioni usato nello sviluppo in serie. Restituisce un numero reale.

Approssimazione di pi greco tramite serie di Taylor

L’approssimazione è ottenuta sviluppando la funzione arcotangente in un intorno di zero e calcolando poi in un angolo opportuno.

Sviluppo in serie di taylor della funzione arcotangente
Taylor_PiAtan1(iterazioni)
Taylor_PiAtan1-2_1-3(iterazioni)

Dove iterazioni è il numero di iterazioni usato nello sviluppo in serie. Entrambe le funzioni restituiscono un numero reale.

La prima funzione calcola l’arcotangente in uno e moltiplica il risultato per quattro. La seconda utilizza la proprietà:

Metà di un angolo retto come somma dell'arco che ha per tangente 1/2 e 1/3

e quindi somma l’arcotangente di 1/2 e di 1/3 e moltiplica il risultato per quattro.

Usa Taylor_atan(iterazioni, x).

Approssimazione di radice di due con il metodo di Newton

L’approssimazione è calcolata applicando il metodo di Newton all’equazione:

Equazione x^2-2=0 usata per approssimare la radice quadrata di 2 con il metodo di Newton
Newton_r2(iterazioni)

Dove iterazioni è il numero di iterazioni usato nello sviluppo in serie. Restituisce un numero reale.

Approssimazione della sezione aurea con il metodo di Newton

L’approssimazione è calcolata applicando il metodo di Newton all’equazione:

Equazione x^2-5=0 usata per approssimare la radice quadrata di 5 con il metodo di Newton, l'approssimazione è poi usata per calcolare il valore della sezione aurea

e l’approssimazione ottenuta è usata per calcolare la sezione aurea.

Newton_phi(iterazioni)

Dove iterazioni è il numero di iterazioni usato nello sviluppo in serie. Restituisce un numero reale.

Approssimazione di un numero reale con il metodo del minimo scostamento

Il numero reale è approssimato come prodotto di razionali:

Il numero reale è approssimato come prodotto di razionali

in cui il numeratore e il denominatore sono numeri primi scelti secondo la formula:

Formula per calcolare l'approssimazione di un numero reale con il metodo del minimo scostamento
MinimoScostamento(ripetizioni, trascendente)

Dove ripetizioni è il numero di iterazioni e trascendente il numero reale da approssimare. Restituisce un numero reale.

Usa MinimoScostamentoLista(ripetizioni, trascendente)

Fattori del prodotto usato nel metodo del minimo scostamento

Il metodo del minimo scostamento approssima un numero reale come prodotto di razionali, questa funzione costruisce una lista in cui il primo elemento è +1 o -1 a seconda del segno del numero da approssimare e gli elementi successivi sono numeratore e denominatore del razionale seguente.

MinimoScostamentoLista(ripetizioni, trascendente)

Dove ripetizioni è il numero di iterazioni e trascendente il numero reale da approssimare. Restituisce una lista di interi.

Derivata aritmetica

  • Derivata logaritmica: ld(x)
  • Derivata di un numero intero: DAIntero(x)
  • Derivata di un numero razionale: DARazionale(x)
  • Derivata di un numero reale: DAReale(x)

Derivata logaritmica

La derivata logaritmica, in analogia con la derivata classica, è definita come il rapporto tra la derivata n’ di un numero e il numero stesso:

Derivata logaritmica di un numero intero
La derivata logaritmica, in pratica, è la somma degli inversi dei primi che dividono n
ld(x)

Dove x è il numero intero di cui calcolare la derivata logaritmica. Restituisce un numero reale.

Usa ScomporreInFattori e PrimoSuccessivo.

Derivata di un intero

La derivata di un intero n è data dal numero stesso moltiplicato per la sua derivata logaritmica o, in altre parola, per la somma degli reciproci dei primi che dividono n.

Derivata aritmetica di un numero intero
DAIntero(x)

Dove x è il numero intero di cui calcolare la derivata aritmetica. Restituisce un numero intero.

Usa ld

Derivata di un razionale

La derivata di un numero razionale si ottiene calcolando innanzitutto la somma dei reciproci dei primi che dividono il numeratore meno la somma dei reciproci dei primi che dividono il denominatore e moltiplicando il risultato per il razionale stesso.

Derivata aritmetica di un numero razionale
DARazionale(numeratore, denominatore)

Dove numeratore è il numeratore del numero razionale da derivare e denominatore il denominatore dello stesso numero. Restituisce un numero reale.

Usa ld

Derivata di un numero reale

La derivata di un numero reale è ottenuta sviluppando il numero in un prodotto di frazioni, in cui numeratore e denominatore sono numeri primi, con il metodo del minimo scostamento e successivamente derivando il prodotto così ottenuto. Ovviamente il risultato dipende dall’estensione dello sviluppo.

Derivata aritmetica di un numero reale
Dove la prima somma è estesa ai primi che sono al numeratore dello sviluppo del numero reale e la seconda somma è estesa ai primi che sono al denominatore
DAReale(x, iterazioni)

Dove x è il numero reale da derivare e iterazioni il numero di iterazioni nello sviluppo del numero reale con il metodo del minimo scostamento. Restituisce un numero reale.

Usa DAIntero e MinimoScostamentoLista.

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