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I numeri trascendenti

Pi Greco

Nuovo anno, nuovi problemi

Questo articolo è stato scritto in collaborazione con Francesca Arcese, Roberta Befera, Andrea Buzzacco, Sofia Corradetti, Ludovica Fiori.

Vi siete mai chiesti quanti sono i numeri? Infiniti: questa è la risposta!
I numeri possono essere: reali, razionali, interi relativi, naturali o irrazionali.

A noi è stato chiesto di occuparci dei numeri irrazionali e in particolare dei numeri trascendenti. Ma, di preciso, cos’è un numero trascendente? I numeri trascendenti sono numeri irrazionali che non sono numeri algebrici e quindi, non sono soluzione di nessuna equazione polinomiale (con coefficienti interi o razionali).

Per esempio: radice quadrata di due è un numero irrazionale ma non è trascendente, perché è soluzione dell’equazione

Infatti, isolando il termine di secondo grado in x si ha:

da cui, facilmente, le due soluzioni dell’equazione:

Nonostante sia numeri algebrici che quelli trascendenti siano infiniti, gli ultimi sono infinitamente di più dei primi! Ebbene sì: esistono infiniti più grandi di altri infiniti.
Il famoso pi greco (3.14159…), per esempio, fa parte della famiglia dei numeri trascendenti! Infatti non è possibile scrivere un’equazione con coefficienti interi o razionali che ammetta, tra le proprie soluzioni, il numero pi greco.

Cosa ci è stato richiesto?

Per prima cosa dobbiamo fare amicizia con questi numeri e con i loro sviluppi formali per arrivare ad approssimarli con rapporti polinomiali o altre funzioni.
Ma l’obiettivo veramente interessante e quindi anche più complesso (perché per noi bello è sinonimo di tosto!) è quello di realizzare una libreria di procedure che permetta a chiunque di giocare con i numeri trascendenti: calcolare gli sviluppi con tantissime cifre decimali, verificare somiglianze, immaginare teoremi …

Il senso di Smilla per la neve

C’è un breve brano de Il senso di Smilla per la neve, romanzo di Peter Høeg, in cui la protagonista, Smilla per l’appunto, paragona i numeri a un panorama immenso e infinito da esplorare.

Lo stesso brano è ripreso nel film omonimo ed è proprio quel breve spezzone video che, in un certo senso, ha dato il via a tutto il progetto RiA – research in Action, come racconta l’insegnante che lo ha progettato in questo stesso blog.

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